Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB = 4，BC = 5，點P在邊AC上，且，聯結BP，以BP為一邊作△BPQ（點B、P、Q按逆時針排列），點G是△BPQ的重心，聯結BG，∠PBG =∠BCA，∠QBG =∠BAC，聯結CQ并延長，交邊AB于點M．設PC = x，．

（1）求的值；

（2）求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）延長BG，交邊PQ于點D，延長BD至點E，使DE=BD，連接PE，先證出△PDE≌△QDB，得出PE=BQ，∠PED=∠QBD，再證出△BPE∽△CBA，得出，即可求出.

（2）延長AB至點F，使BF=AB，連接QF，過點Q作QH∥AC，交邊AB于點H，可證出，再根據∠PBC=∠QBF，證出△PBC∽△QBF，得出∠BCP=∠BFQ，，再根據，得出，從而求出，最后根據得出，整理即可.

（1）如圖2，延長BG，交邊PQ于點D，

由點G是△BPQ的重心，可知PD = DQ，

延長BD至點E，使DE = BD，聯結PE．

∵ PD = DQ，DE = BD，∠PDE =∠QDB，

∴ △PDE≌△QDB

∴ PE = BQ，∠PED =∠QBD．

∵ ∠QBG =∠BAC，∴ ∠PED =∠BAC．

又∵ ∠PBG =∠BCA，∴ △BPE∽△CBA．

∴

∴

（2）如圖3，延長AB至點F，使BF = AB，聯結QF，過點Q作QH∥AC，交邊AB于點H．

∵ ，，∴

∵∠PBQ =∠BAC+∠BCA，∠CBF =∠BAC+∠BCA，

∴ ∠PBQ =∠CBF

∴ ∠PBC =∠QBF

∴ △PBC∽△QBF

∴ ∠BCP =∠BFQ，

∵ HQ∥AC，∴ ∠BHQ =∠BAC．

∴ △FQH∽△CBA

∴

∴ ，即

∴

∵ HQ∥AC，∴ ，即

∴ y關于x的函數關系式為.