Question

【題目】已知拋物線過點，與軸交于點,，交y軸于點，頂點為．

(1)求拋物線解析式；

(2)在第一象限內的拋物線上求點，使 ，求點的坐標；

(3)是第一象限內拋物線上一點，是線段上一點，點 在點右側，且滿足，當為何值時，滿足條件的點只有一個？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）已知拋物線過定點，用待定系數法即可求解；（2）過點D作DH⊥y軸交y軸于點H，DH＝HC，OA＝OC，∠DHC＝∠AOC＝90°得△DHC和△AOC都是等腰直角三角形，從而得出∠DCH＝∠ACO＝45°，DC＝，AC＝，∠ACD＝90°，DC⊥AC，延長DC至N使CN＝DC＝，根據，，得出S△ADC＝S△ACM，得出直線AC的解析式為：y＝x+3，從而得出直線NM的解析式為：y＝x+1，由求得點M的坐標為：；（3）延長DF交x軸于點E，過點D作DG⊥x軸交x軸于點G，設OE＝a，則EA＝ED＝a+3，GE＝a+1，在Rt△DGE中，DG2+GE2＝DE2，解得a＝2，解得E（2，0）得直線DE的解析式為： ，聯立，由此可得，由∠APF是△DPF的一個外角，可得△FDP≌△PAQ，，易得，，，設DP＝x，則PA＝ ，則AQ＝m+3，由，整理得，令△＝0，解得．

(1)依題有

解得，，

拋物線的解析式為；

(2)過點作軸于點，

由(1)得，

，，

又，

和都是等腰直角三角形，

，

,

,

，即,

延長至使，

易得

過點作交拋物線于點，

，，

，

依題有的解析式為：，

設的解析式為：

將點代入的解析式得，，

的解析式為：，

聯立

解得，， (舍去)

；

(3)如圖，延長交軸于點，過點作 軸于點，

，

.

設，則，，

在中，

即，解得，.

直線的解析式為：

聯立

解得：，，

是第一象限內拋物線上一點，

是的一個外角，

，

，

又，

，

又，

，

，

易得，，，

設，則，

依題有，

，

，

整理得，，

.

∵當時，滿足條件的只有一個,

，

解得，.