Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C在y軸正半軸上，點B的坐標為（4，m）（5≤m≤7），反比例函數y＝（x＞0）的圖象交邊AB于點D．

（1）用m的代數式表示BD的長；

（2）設點P在該函數圖象上，且它的橫坐標為m，連結PB，PD

①記矩形OABC面積與△PBD面積之差為S，求當m為何值時，S取到最大值；

②將點D繞點P逆時針旋轉90°得到點E，當點E恰好落在x軸上時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7時，S取到最大值②m＝2+2

【解析】

（1）先確定出點D橫坐標為4，代入反比例函數解析式中求出點D橫坐標，即可得出結論；

（2）①先求出矩形OABC的面積和三角形PBD的面積得出S＝﹣（m﹣8）2+24，即可得出結論；②利用一線三直角判斷出DG＝PF，進而求出點P的坐標，即可得出結論．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴AB⊥x軸上，

∵點B（4，m），

∴點D的橫坐標為4，

∵點D在反比例函數y＝上，

∴D（4，4），

∴BD＝m﹣4；

（2）①如圖1，∵矩形OABC的頂點B的坐標為（4，m），

∴S矩形OABC＝4m，

由（1）知，D（4，4），

∴S△PBD＝（m﹣4）（m﹣4）＝（m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣（m﹣4）2＝﹣（m﹣8）2+24，

∴拋物線的對稱軸為m＝8，

∵a＜0，5≤m≤7，

∴m＝7時，S取到最大值；

②如圖2，過點P作PF⊥x軸于F，過點D作DG⊥FP交FP的延長線于G，

∴∠DGP＝∠PFE＝90°，

∴∠DPG+∠PDG＝90°，

由旋轉知，PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠DPG+∠EPF＝90°，

∴∠PDG＝∠EPF，

∴△PDG≌△EPF（AAS），

∴DG＝PF，

∵DG＝AF＝m﹣4，

∴P（m，m﹣4），

∵點P在反比例函數y＝，

∴m（m﹣4）＝16，

∴m＝2+2或m＝2﹣2（舍）．