Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx+c，經過點B（﹣4，0）和點A（1，0），與y軸交于點C．

（1）確定拋物線的表達式，并求出C點坐標；

（2）如圖1，拋物線上存在一點E，使△ACE是以AC為直角邊的直角三角形，求出所有滿足條件的點E坐標；

（3）如圖2，M，N是拋物線上的兩動點（點M在點的N左側），分別過點M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點P．點M，N運動時，始終保持MN＝不變，當△MNP的兩條直角邊長成二倍關系時，請直接寫出直線MN的表達式．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4，C（0，﹣4）；（2）E（﹣，﹣）或E（﹣，）；（3）MN的解析式為或．

【解析】

(1)將點B(﹣4，0)和點A(1，0)代入函數解析式即可求解；

(2)分兩種情況：當CE⊥AC時，設CE的解析式為y=kx﹣4，求出E的坐標(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，再由勾股定理可求k的值；⊥AC時，則∥CE，設的解析式為y=-x+m，即可求出點坐標；

(3)分兩種情況：設P(s，t)，當AP=2MP時，M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，可得(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，求出s=0，t=﹣，進而求出M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，利用待定系數法即可求MN的直線解析式；當MP=2AP時，M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，可得(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，求出s=﹣，t=﹣，進而求出M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，利用待定系數法即可求MN的解析式．

(1)∵點B(﹣4，0)和點A(1，0)在拋物線上，

∴，

解得，

∴，

∴點C的坐標為(0，﹣4)；

(2)當CE⊥AC時，

設CE的解析式為y=kx﹣4，

∴，

得：，

∴x=0(舍)或x=k﹣3，

∴點E的坐標為(k﹣3，k2﹣3k﹣4)，

AC2==17，

EA2=(k﹣3-1)2+(k2﹣3k﹣4)2，EC2=(k﹣3)2+(k2﹣3k-4+4)2，

∵AC2+EC2=EA2，

∴17+(k﹣3)2+(k2﹣3k)2=(k﹣4)2+(k2﹣3k﹣4)2，

解得：k=3(舍去)，k=-，

∴點E的坐標為(﹣，﹣)；

當⊥AC時，

∵CE⊥AC，

∴∥CE，

設的解析式為y=-x+m，

點A(1，0)在直線上，

∴，

∴，

解得：x=1(舍去)或x，

∴，

∴點的坐標為(﹣，)；

綜上，點E的坐標為(﹣，﹣)或(﹣，)；

(3)設P(s，t)，

當NP=2MP時，

∵MN=，且，

∴MP=1，NP=2，

∴M(s﹣1，t)，N(s，t+2)，

∵M、N在拋物線上，

∴(s﹣1)2+3(s﹣1)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+2，

解得：s=0，t=﹣，

∴M(﹣1，﹣6)，N(0，﹣4)，

設直線MN的解析式為，

則，

解得：，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣4；

當MP=2AP時，

∵MN=，

同理：MP=2，AP=1，

∴M(s﹣2，t)，N(s，t+1)，

∵M、N在拋物線上，

∴(s﹣2)2+3(s﹣2)﹣4=t，s2+3s﹣4=t+1，

∴s=﹣，t=﹣，

∴M(﹣，﹣)，N(﹣，﹣)，

設直線MN的解析式為，

則，

解得：，

∴直線MN的解析式為y=x；

綜上所述：MN的解析式為或．