Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D、E、F．

（1）求證：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）利用切線長定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，進而得出BD=CF，即可得出答案；
（2）首先連接OD、OE，進而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．
試題解析：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF.
∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF.
∴BE=CE.
（2）如圖，連接OD、OF，

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.
又OD=OF，∴四邊形ODAF是正方形.
設(shè)OD=AD=AF=r，則BE=BD=CF=CE=.
在△ABC中,∠A=90°，∴.
又BC=BE+CE，∴，解得：r=.
∴⊙O的半徑是.