Question

【題目】如圖，以BC為底邊的等腰△ABC，點D，E，G分別在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延長GE至點F，使得BE=BF．

（1）求證：四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）當∠C=30°，時，求D，F兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據等腰△ABC的性質，結合EG∥BC，DE∥AC 的性質，等角代換可以證得∠F=∠DEG，得出BF∥DE即可；

（2）作EN⊥BD于N，作FM⊥BD于M，連接DF ，利用（1）中的結論，結合含30°的直角三角形的性質可以得出Rt△FMD中FM、DM的長度，結合勾股定理即可求得．

（1）∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四邊形CDEG是平行四邊形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，EF∥BD

∴四邊形BDEF為平行四邊形；

（2）解：作EN⊥BD于N，作FM⊥BD于M，連接DF，如圖所示：

∵∠C=30°，AB=AC，四邊形BDEF為平行四邊形，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=∠NBE=∠C=30°，

∴△BDE、△BEF是等腰三角形，

∴BE=DE=BF,

∵EN⊥BD，

∴BN=BD=，

∴EN==1，

∴BF=BE=2EN=2，

∴FM=BF=1，

∴BM=FM=，

∴DM=BM+BD=3，

由勾股定理得：DF===，

即D，F兩點間的距離為，

故答案為：．