Question

【題目】如圖，已知拋物線的方程C1：（m＞0）與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．

（1）若拋物線C1過點M（2, 2），求實數m的值；

（2）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；

（3）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（1，）；（3）存在，m=．

【解析】

試題分析：（1）將點（2，2）的坐標代入拋物線解析式，即可求得m的值；（2）根據軸對稱以及兩點之間線段最短的性質，可知點B、C關于對稱軸x=1對稱，連接EC與對稱軸的交點即為所求的H點，如答圖2所示；（3）本問需分兩種情況進行討論：①當△BEC∽△BCF時，如答圖3所示．此時可求得m=2+2；②當△BEC∽△FCB時，如答圖4所示．此時可以得到矛盾的等式，故此種情形不存在．

試題解析：（1）將M（2，2）代入，得．解得m＝4；

（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小，設對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為（1，）；

（3）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′（m＋2, 0）．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．

②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m=．