Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，點M是AC邊上的動點，點M關于直線AB、BC的對稱點分別為P、Q，則線段PQ長的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】2≤PQ≤4

【解析】

根據題意連接BP、BQ、BM，過點B作BD⊥PQ于點D，由對稱性可知PB=BM=BQ、△PBQ為等腰三角形，進而即可得出PD=PB，再根據BM的取值范圍即可得出線段PQ長的取值范圍．

解：∵∠A=75°，∠C=45°，

∴∠ABC=180°-75°-45°=60°，

連接BP、BQ、BM，過點B作BD⊥PQ于點D，如圖所示．

∵點M關于直線AB、BC的對稱點分別為P、Q，

∴BP=BQ=BM，∠PBA=∠MBA，∠MBC=∠QBC，

∴∠PBQ=120°，

∵PB=BQ，

∴∠BPQ=∠BQP=30°，

∴cos30°==，

∴PD=PB，

∵BC=4，∠C=45°，

∴2≤BM≤4，

∵BM=PB，

∴2≤PB≤4，

∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，

∵PQ=2PD，

∴2≤PQ≤4．

故答案為：2≤PQ≤4．