Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分別以OA、OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D點為x軸正半軸上的一點，以OD為一邊在第一象限內作等邊△ODE．

（1）如圖①當E點恰好落在線段AB上時，求E點坐標；

（2）若點D從原點出發沿x軸正方向移動，設點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，當E點到達△AOB的外面，且點D在點B左側時，寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（1）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移如圖②，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請直接指出這條線段；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；（3）存在線段EF=OO'；理由見解析

【解析】

（1）根據題意，作EH⊥OB于點H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點E的坐標；

（2）根據題意，當E點到達△AOB的外面，且點D在點B左側時，2＜x＜4即可；

（3）假設存在，由OO′=4﹣2﹣DB，而DF=DB，從而得到EF=OO'．

解：（1）作EH⊥OB于點H，

∵△OED是等邊三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°，

∴OH=OE=1，EH=，

∵點E在第一象限內，

∴E（1，），

故答案為：E（1，）；

（2）當2＜x＜4，符合題意，如圖，

由（1）知∠OEB=90°，∠E′=60°，

所求重疊部分四邊形OD′NE的面積為：

S△OD′E′﹣S△E′EN=OD×EH﹣E′E×EN=x2﹣×（x﹣2）=﹣x2+2x﹣2

∴y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4），

故答案為：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）；

（3）存在線段EF=OO'．

∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴DF=DB，

∴OO′=4﹣2﹣DB=2﹣DB=2﹣DF=ED﹣DF=EF，

故答案為：存在線段EF=OO'．