Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜邊AC上一個動點，以BP為直徑作⊙O交BC于點D，與AC的另一個交點為E（點E在點P右側），連結DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．

（1）求線段BE的長；

（2）如圖2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；

（3）是否存在點P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE＝；（2）tan∠BDE＝3；（3）符合條件的CP的長為3﹣3或或．

【解析】

（1）求出AC＝3，由三角形ABC的面積可求出BE的長；

（2）連接DP，證明△CPD∽△CAB，得出＝2，設DP＝BD＝x，則CD＝2x，由CB＝3x＝6，得出x＝2，根據tan∠BDE＝tan∠BPE可得出答案；

（3）分三種情況，求出CP＝CD，求出CD，可得出答案．

解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，

∴AC＝＝＝3，

∵BP為⊙O的直徑，

∴∠BEP＝90°，

∴BE⊥AC，

∵S△ABC＝×AB×AC，

∴BE＝；

（2）∵BP平分∠ABC，

∴∠DBP＝∠ABC＝45°，

連接DP，如圖1，

∵BP為⊙O的直徑，

∴∠DBP＝∠DPB＝45°，

∴可設DP＝BD＝x，

∵∠CDP＝∠ABC＝90°

∴PD∥AB，

∴△CPD∽△CAB，

∴＝2，

∴CD＝2x，

∴CB＝3x＝6，

∴x＝2，

∴DP＝BD＝2，CD＝4，

∴CP＝＝＝2，

∴CE＝＝＝，

∴tan∠BDE＝ tan∠BPE＝＝＝3．

（3）解：存在這樣的點P．

由△DCP∽△BCA，得，，

∴CP＝CD，

若△BDE是等腰三角形，可分三種情況：

①當BD＝BE時，BD＝BE＝，

∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，

∴CP＝＝3﹣3．

②當BD＝DE時，此時點D是Rt△CBE斜邊的中點，

∴CD＝BC＝3，

∴CP＝；

③當DE＝BE時，作EH⊥BC于點H，則H是BD的中點，

∵∠ABC＝∠EHC＝90°，

∴EH∥AB，

∴，

又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，

∴BH＝DH＝＝，

∴CD＝6﹣＝，

∴CP＝．

綜上所述，△BDE是等腰三角形，符合條件的CP的長為3﹣3或或．