Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線上的一點，過⊙O上一點C作⊙O的切線交DF于點E，AC平分∠FAB

（1）求證：CE⊥DF；（2）若AE＝2，CE＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為5．

【解析】

（1）證明：連接BC，證得∠B+∠CAB＝90°，∠ACE+∠CAB＝90°，則∠CAE＝∠CAB，即可證得結論；

（2）證明：由圓周角定理得到∠CEA＝90°，再證得△ACB∽△AEC，，根據相似三角形的性質即可證得結論．

（1）證明：連接BC，

∵CE是⊙O的切線，

∴∠B＝∠ACE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B+∠CAB＝90°，

∴∠ACE+∠CAB＝90°，

∵AC平分∠FAB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，即∠CEA＝90°，

∴CE⊥DF；

（2）解：∵∠CEA＝90°，

∴AC＝，

∵∠ACB＝∠CEA＝90°，∠B＝∠ACE，

∴△ACB∽△AEC，

∴，

解得，AB＝10，

∴⊙O的半徑為5．