Question

【題目】如圖，在中，AB＝AC，，點D是BC的中點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.

（1）∠EDB＝_____（用含的式子表示）

（2）作射線DM與邊AB交于點M，射線DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，與AC邊交于點N.

①根據(jù)條件補全圖形；

②寫出DM與DN的數(shù)量關(guān)系并證明；

③用等式表示線段BM、CN與BC之間的數(shù)量關(guān)系，（用含的銳角三角函數(shù)表示）并寫出解題思路.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2）①見解析；②DM＝DN，理由見解析；③數(shù)量關(guān)系：

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α；

（2）①如圖，利用∠EDF=180°﹣2α畫圖；

②先利用等腰三角形的性質(zhì)得到DA平分∠BAC，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得到DE=DF，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF，然后證明△MDE≌△NDF得到DM=DN；

③先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再證明△BDE≌△CDF得BE=CF，利用等量代換得到BM+CN=2BE，然后根據(jù)正弦定義得到BE=BDsinα，從而有BM+CN=BCsinα．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C（180°﹣∠A）=90°﹣α．

∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．

故答案為：α；

（2）①如圖：

②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．

∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．

∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．

∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．

在△MDE和△NDF中，∵，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；

③數(shù)量關(guān)系：BM+CN=BCsinα．

證明思路為：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再證明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接著在Rt△BDE可得BE=BDsinα，從而有BM+CN=BCsinα．