Question

【題目】在等邊△ABC外側(cè)作直線AM，點C關于AM的對稱點為D，連接BD交AM于點E，連接CE，CD，AD.

（1）依題意補全圖1，并求∠BEC的度數(shù)；

（2）如圖2，當∠MAC＝30°時，判斷線段BE與DE之間的數(shù)量關系，并加以證明；

（3）若0°＜∠MAC＜120°，當線段DE＝2BE時，直接寫出∠MAC的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）補全圖形如圖1所示，見解析，∠BEC＝60°；（2）BE＝2DE，見解析；（3）∠MAC＝90°.

【解析】

（1）根據(jù)軸對稱作出圖形，先判斷出∠ABD＝∠ADB＝y，再利用三角形的內(nèi)角和得出x+y即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出四邊形ABCD是菱形，進而得出∠CBD＝30°，進而得出∠BCD＝90°，即可得出結(jié)論；

（3）先作出EF＝2BE，進而判斷出EF＝CE，再判斷出∠CBE＝90°，進而得出∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出結(jié)論.

（1）補全圖形如圖1所示，

根據(jù)軸對稱得，AD＝AC，∠DAE＝∠CAE＝x，∠DEM＝∠CEM.

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°.

∴AB＝AD.

∴∠ABD＝∠ADB＝y.

在△ABD中，2x+2y+60°＝180°，

∴x+y＝60°.

∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°.

∴∠BEC＝60°；

（2）BE＝2DE，

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，

由對稱知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴CD＝AD，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠DBC＝30°，

由（1）知，∠BEC＝60°，

∴∠ECB＝90°.

∴BE＝2CE.

∵CE＝DE，

∴BE＝2DE.

（3）如圖3，（本身點C，A，D在同一條直線上，為了說明∠CBD＝90°，畫圖時，沒畫在一條直線上）

延長EB至F使BE＝BF，

∴EF＝2BE，

由軸對稱得，DE＝CE，

∵DE＝2BE，

∴CE＝2BE，

∴EF＝CE，

連接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∵BE＝BF，

∴∠CBE＝90°，

∴∠BCE＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°，

∴∠AEC＝60°，

∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°.