Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點C是二次函數y＝mx2＋4mx＋4m＋1的圖象的頂點，一次函數y＝x＋4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B．

（1）請你求出點A、B、C的坐標；

（2）若二次函數y＝mx2＋4mx＋4m＋1與線段AB恰有一個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（－4，0）和B（0，4）；（2）或

【解析】

（1）拋物線解析式配方后，確定出頂點C坐標，對于一次函數解析式，分別令x與y為0求出對應y與x的值，確定出A與B坐標；

（2）分m＞0與m＜0兩種情況求出m的范圍即可．

解：（1）y＝mx2＋4mx＋4m＋1＝m（x＋2）2＋1，

∴拋物線頂點坐標為C（－2，1），

對于y＝x＋4，令x＝0，得到y＝4；y＝0，得到x＝－4，

直線y＝x＋4與x軸、y軸交點坐標分別為A（－4，0）和B（0，4）；

（2）把x＝－4代入拋物線解析式得：y＝4m＋1，

①當m＞0時，y＝4m＋1＞0，說明拋物線的對稱軸左側總與線段AB有交點，

∴只需要拋物線右側與線段AB無交點即可，

如圖1所示，

只需要當x＝0時，拋物線的函數值y＝4m＋1＜4，即，

則當時，拋物線與線段AB只有一個交點；

②當m＜0時，如圖2所示，

只需y＝4m＋1≥0即可，

解得：，

綜上，當或時，拋物線與線段AB只有一個交點．