Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE=BF．連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，FC．

（1）請判斷：FG與CE的數量關系是 ， 位置關系是；
（2）如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；
（3）如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）FG=CE；FG∥CE
（2）

證明：過點G作GH⊥CB的延長線于點H，

∵EG⊥DE，

∴∠GEH+∠DEC=90°，

∵∠GEH+∠HGE=90°，

∴∠DEC=∠HGE，

在△HGE與△CED中，

，

∴△HGE≌△CED（AAS），

∴GH=CE，HE=CD，

∵CE=BF，

∴GH=BF，

∵GH∥BF，

∴四邊形GHBF是矩形，

∴GF=BH，FG∥CH

∴FG∥CE

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=BC，

∴HE=BC

∴HE+EB=BC+EB

∴BH=EC

∴FG=EC

（3）

證明：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，

在△CBF與△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE（SAS），

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵EG=DE，

∴CF=EG，

∵DE⊥EG

∴∠DEC+∠CEG=90°

∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠CDE=∠CEG，

∴∠BCF=∠CEG，

∴CF∥EG，

∴四邊形CEGF平行四邊形，

∴FG∥CE，FG=CE．

【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；
（1）只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）構造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=C，FG∥CE；（3）證明△CBF≌△DCE后，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形．本題三角形與四邊形綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質．解題的關鍵是利用全等三角形的對應邊相等進行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．