Question

【題目】如圖，點在上，點是外一點．切于點．連接交于點，作于點，交于點，連接．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）18﹣6π

【解析】

（1）連接OB，由垂徑定理得OP垂直平分AB，進而證明△APO≌△BPO，得∠PAO＝∠PBO，結合PA切⊙O于點A， 即可得到結論；

（2）先證△APB是等邊三角形，設OB＝x，則OP＝2x，由勾股定理得OB＝6，結合三角形的面積公式和扇形的面積公式，即可求解．

（1）連接OB，

∵OP⊥AB，OP經過圓心O，

∴AC＝BC，

∴OP垂直平分AB，

∴AP＝BP，

∵OA＝OB，OP＝OP，

∴△APO≌△BPO（SSS），

∴∠PAO＝∠PBO，

∵PA切⊙O于點A，

∴AP⊥OA，

∴∠PAO＝90°，

∴∠PBO＝∠PAO＝90°，

∴OB⊥BP，

又∵點B在⊙O上，

∴PB是⊙O的切線；

（2）∵PA切⊙O于點A， PB切⊙O于點B，

∴PA＝PB，

∵∠APB＝60°，

∴△APB是等邊三角形，

∴PB＝AB＝6，

在Rt△OPB中，

∵∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝30°，

∴OP＝2OB，∠POB＝60°，

設OB＝x，則OP＝2x，

由勾股定理得： x2+（6）2＝（2x）2

∵x>0

∴x＝6 ， 即OB＝6，

∴S△OPB＝×BP×OB＝×6×6＝18，S扇DOB＝＝6π，

∴S陰影＝S△OPB﹣S扇DOB＝18﹣6π．