Question

【題目】等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，連接AF，BE相交于點P．
（1）若AE=CF； ①求證：AF=BE，并求∠APB的度數；
②若AE=2，試求APAF的值；
（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，

∴ ，即 ，所以APAF=1

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．

①當AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6，

∴OA= ，

點P的路徑是 ．

②當AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形ABC的邊長為6，所以點P的路徑為： ．

所以，點P經過的路徑長為 或3 ．

【解析】（1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得 的比值，即可以得到答案．（2）當點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應的圓心角的度數，求得答案．點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；
【考點精析】利用等邊三角形的性質和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．