Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．作射線AP，過點B作BD⊥AP于點D，連接CD．

（1）當射線AP位于圖1所示的位置時

①根據題意補全圖形；

②求證：AD+BD=CD．

（2）當射線AP繞點A由圖1的位置順時針旋轉至∠BAC的內部，如圖2，直接寫出此時AD，BD，CD三條線段之間的數量關系為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）結論：AD﹣BD= CD．理由見解析．

【解析】

（1）①根據要求補全圖形即可；
②取AB是中點O，連接OD、OC，作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．四只要證明邊形DECF是正方形，可得DE=DF，CD= DE

由Rt△CAE≌Rt△CBF，推出AE=BF，可得AB+DB=DE+AE+DF-BF=2DE，
（2）結論：AD-BD= CD,取AB的中點O，連接OC，OD．作CM⊥CD交AD于M．只要證明△MCD是等腰直角三角形，△ACM≌△BCD，、即可解決問題；

（1）解：①補全圖的圖形如圖所示；

②證明：取AB是中點O，連接OD、OC，作CE⊥AD于E，CF⊥DB于F．

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴OC=OD=AB，

∴A、D、B、C四點共圓，

∴∠ADB=∠ABC=45°，

∴∠ADC=∠CDB，

∵CE⊥AD于E，CF⊥DB于F，

∴CE=CF，

易證四邊形DECF是正方形，

∴DE=DF，CD=DE，

∵AC=BC，CE=CF，

∴Rt△CAE≌Rt△CBF，

∴AE=BF，

∵AB+DB=DE+AE+DF﹣BF=2DE，

又∵DE=CD，

∴AB+BD=CD．

（2）結論：AD﹣BD=CD．

理由：取AB的中點O，連接OC，OD．作CM⊥CD交AD于M．

∵∠ACB=∠ADB=90°，OA=OB，

∴OC=OD=AB，

∴A、C、D、B四點共圓，（設AD交BC于O，先證明△AOC∽△BOD，再證明△AOB∽△COD即可）

∴∠ADC=∠ABC=45°，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴CM=CD，

∵∠MCD=∠ACB=90°，

∴∠ACM=∠BCD，∵CA=CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴AM=BD，

∴AD﹣BD=AD=AM=DM=CD．

故答案為：AD﹣BD=CD．