Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為1，A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀：；
（2）試探究線段PA、PB、PC之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）等邊三角形
（2）解：在PC上截取PD=AP，如圖，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴CP=BP+AP．

【解析】解：（1）△ABC是等邊三角形． 證明如下：在⊙O中
∵∠BAC與∠CPB是 所對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
所以答案是：等邊三角形；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．