Question

【題目】
【合作學習】

如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD=3，另兩邊與反比例函數y= （k≠0）的圖象分別相交于點E，F，且DE=2．過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G．回答下面的問題：
①該反比例函數的解析式是什么？
②當四邊形AEGF為正方形時，點F的坐標是多少？
（1）閱讀合作學習內容，請解答其中的問題；
（2）小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”
針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結論即可；這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，

而OD=3，DE=2，

∴E點坐標為（2，3），

∴k=2×3=6，

∴反比例函數解析式為y= （x＞0）；

②設正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a，

∴B點坐標為（2+a，0）），A點坐標為（2+a，3），

∴F點坐標為（2+a，3﹣a），

把F（2+a，3﹣a）代入y= 得（2+a）（3﹣a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去），

∴F點坐標為（3，2）

（2）

解：①當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．理由如下：

假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，

∴A點坐標為（5，3），

∴F點坐標為（5，1），

而5×1=5≠6，

∴F點不在反比例函數y= 的圖象上，

∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；

②當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．

∵矩形AEGF與矩形DOHE能相似，

∴AE：OD=AF：DE，

∴ = ，

設AE=3t，則AF=2t，

∴A點坐標為（2+3t，3），

∴F點坐標為（2+3t，3﹣2t），

把F（2+3t，3﹣2t）代入y= 得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，

∴AE=3t= ，

∴相似比= = = ．

【解析】（1）①先根據矩形的性質得到D（2，3），然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征計算出k=6，則得到反比例函數解析式為y= ；
②設正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a，根據坐標與圖形的關系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F點坐標為（2+a，3﹣a），于是利用反比例函數圖象上點的坐標特征得（2+a）（3﹣a）=6，然后解一元二次方程可確定a的值，從而得到F點坐標；（2）當AE＞EG時，假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，則得到F點坐標為（3，3），根據反比例函數圖象上點的坐標特征可判斷點F（3，3）不在反比例函數y= 的圖象上，由此得到矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；當AE＞EG時，若矩形AEGF與矩形DOHE相似，根據相似的性質得AE：OD=AF：DE，即 = ，設AE=3t，則AF=2t，得到F點坐標為（2+3t，3﹣2t），利用反比例函數圖象上點的坐標特征得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2= ，則AE=3t= ，于是得到相似比= = ．