Question

【題目】已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠DAB＝90°．

（Ⅰ）如圖1，連接BD，若⊙O的半徑為6，弧AD=弧AB，求AB的長；

（Ⅱ）如圖2，連接AC，若AD＝5，AB＝3，對角線AC平分∠DAB，求AC的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）如圖1，先利用圓周角定理得到BD為直徑，即BD＝12，再證明△ABD為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形求出AB；

（Ⅱ）如圖2，連接BD，作BH⊥AC于H，先利用圓周角定理得到BD為直徑，利用勾股定理計算出BD＝，再證明△CDB為等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接著在Rt△ABH中計算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中計算出CH＝，從而得到AC的長．

解：（Ⅰ）如圖1，

∵∠DAB＝90°，

∴BD為直徑，即BD＝12，

∵，

∴AD＝AB，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∴AB＝BD＝6；

（Ⅱ）如圖2，連接BD，作BH⊥AC于H，

∵∠DAB＝90°，

∴BD為直徑，BD＝＝，

∴∠BCD＝90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠BAC＝∠BAC＝45°，

∴∠CBD＝∠BDC＝45°，

∴△CDB為等腰直角三角形，

∴BC＝BD＝×＝，

在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，

在Rt△BCH中，CH＝＝，

∴AC＝AH+CH＝＝4．