Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，連接AE．

（1）求證：AB⊥AE；

（2）若BC2=ADAB，求證：四邊形ADCE為正方形．

Answer 1

【答案】（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論。

（2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。

【解析】

（1）根據旋轉的性質得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△BCD≌△ACE，則∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論。

（2）由于BC=AC，則AC2=ADAB，根據相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，則∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形。

證明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°。

∵線段CD繞點C順時針旋轉90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE。

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE。

∵在△BCD和△ACE中，，

∴△BCD≌△ACE（SAS）。∴∠B=∠CAE=45°。

∴∠BAE=45°+45°=90°。∴AB⊥AE。

（2）∵BC2=ADAB，BC=AC，∴AC2=ADAB。∴。

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB。∴∠CDA=∠BCA=90°。

∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四邊形ADCE為矩形。

∵CD=CE，∴四邊形ADCE為正方形。