Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OC=3.

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)若點D(2，2)是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△BDP的周長最短？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)求出△ABC外接圓心M的坐標.

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x+3；(2)存在，P坐標為(，)；(3)圓心坐標：M(，).

【解析】

（1）根據OA、OC的長即可求出A、C兩點的坐標，代入解析式即可；

（2）連接BD、AD，AD交對稱軸于點P，連接BP，要使△BDP的周長最短，故只需使BP+DP最小即可，此時BP+DP=AP+DP=AD，根據兩點之間線段最短，故P為所求的點，利用待定系數法和對稱軸公式分別求出直線AD的解析式及拋物線的對稱軸，即可求出P點坐標；

（3）根據三角形的外接圓圓心為三邊中垂線的交點，故M在拋物線對稱軸上，可設M的坐標為(，a)，根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式和MA=MB，列方程即可.

(1)∵OA=2，OC=3，

∴A(2，0)，C(0，3)，代入拋物線解析式

得：c=3，2 2b+3=0，

解得：b=，c=3，

則拋物線解析式為y=x2+x+3

(2)存在，連接BD、AD，交對稱軸于點P，連接BP，要使△BDP的周長最短，故只需使BP+DP最小即可，此時BP+DP=AP+DP=AD，根據兩點之間線段最短，故P為所求的點，

設直線AD解析式為y=mx+n(m≠0)， 把A(2,0),D(2,2)代入得：

解得：m=，n=1，

∴直線AD解析式為y=x+1，

∵對稱軸為直線，

當x=時，y=，則P坐標為(，).

(3)由題意可知：M在直線x=上， 且MA=MC，

設M(，a)

∴，

∴

解得：a=

圓心坐標M：(，)