Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE=2AC．

（1）用含m的代數式表示BE的長．
（2）當m= 時，判斷點D是否落在拋物線上，并說明理由．
（3）若AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G．
①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值．
②連結AE，交OB于點M，若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，﹣3），AC⊥OC，

∴點A縱坐標為﹣3，

y=﹣3時，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，

∴點A坐標（m，﹣3），

∴AC=m，

∴BE=2AC=2m．

（2）

解：∵m= ，

∴點A坐標（ ，﹣3），

∴直線OA為y=﹣ x，

∴拋物線解析式為y=x2﹣ x﹣3，

∴點B坐標（2 ，3），

∴點D縱坐標為3，

對于函數y=﹣ x，當y=3時，x=﹣ ，

∴點D坐標（﹣ ，3）．

∵對于函數y=x2﹣ x﹣3，x=﹣ 時，y=3，

∴點D在落在拋物線上．

（3）①

∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四邊形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵ ?DE?EO= ?GB?GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵點B坐標（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m= ．
②
【解析】（3）②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），∴直線AE解析式為y=﹣2mx+2m2﹣3，直線OB解析式為y= x，由 消去y得到﹣2mx+2m2﹣3= x，解得x= ，∴點M橫坐標為 ，
∵△AMF的面積=△BFG的面積，
∴ （ +3）（m﹣ ）= m （2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m= ．故答案為 ．
（1）根據A、C兩點縱坐標相同，求出點A橫坐標即可解決問題．（2）求出點D坐標，然后判斷即可．（3）①首先根據EO=2FG，證明BG=2DE，列出方程即可解決問題．②求出直線AE、BO的解析式，求出交點M的橫坐標，列出方程即可解決問題．本題考查二次函數綜合題、三角形面積問題、一次函數等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數，通過方程組解決問題，學會用構建方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．