Question

【題目】已知：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．

（1）要在這張紙板上剪出一個正方形，使這個正方形的四個頂點都在△ABC的邊上．小林設計出了一種剪法，如圖1所示．請你再設計出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫出來．

（2）若按照小林設計的圖1所示的剪法來進行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到1個正方形，將它的面積記為，則=___________；在余下的2個三角形中還按照小林設計的剪法進行第二次裁剪（如圖3），得到2個新的正方形，將此次所得2個正方形的面積的和記為，則=___________；在余下的4個三角形中再按照小林設計的的剪法進行第三次裁剪（如圖4），得到4個新的正方形，將此次所得4個正方形的面積的和記為；按照同樣的方法繼續操作下去……，第次裁剪得到_________個新的正方形，它們的面積的和=______________．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）（2），，，．

【解析】（1）利用斜邊長的，向斜邊作垂線得出正方形即可；

（2）根據題意，可求得S1，S2，S3，同理可得規律：Sn即是第n次剪取后面積和，根據此規律求解即可答案．

（1）如圖所示；

（2）∵四邊形DBFE是正方形，

∴DE＝EF＝BF＝DB，∠EFC＝∠ADE＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴AD＝DE＝EF＝CF＝BF＝BD，

∵AB＝BC＝1，

∴DE＝EF＝，

∴S正方形DBFE＝S1＝×＝；

同理：S2即是第二次剪取后的面積和，

Sn即是第n次剪取后的面積和，

∴第一次剪取后的面積和為：S1＝＝，

第二次剪取后的面積和為：S2＝××2＝＝，

第三次剪取后剩余三角形面積和為：S3＝××4＝＝，

…

第n次剪取后面積和為：Sn＝××2n1＝．

故答案為：，，2n1，．