Question

20．如圖，對于平面直角坐標系xOy中的點P和線段AB，給出如下定義：如果線段AB上存在兩個點M，N，使得∠MPN=30°，那么稱點P為線段AB的伴隨點．

（1）已知點A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E（$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{3}}$），F（0，2+$\sqrt{3}$），
①在點D，E，F中，線段AB的伴隨點是D、F；
②作直線AF，若直線AF上的點P（m，n）是線段AB的伴隨點，求m的取值范圍；
（2）平面內有一個腰長為1的等腰直角三角形，若該三角形邊上的任意一點都是某條線段a的伴隨點，請直接寫出這條線段a的長度的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據伴隨點的定義，觀察圖象即可判定．
（2）以AB為一邊，在x軸上方、下方分別構造等邊△ABO₁和等邊△ABO₂，分別以點O₁，點O₂為圓心，線段AB的長為半徑畫圓，求出兩圓與直線AF的交點的位置，即可解決問題．
（3）如圖，△DEF的腰長為1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圓，△OAB是等邊三角形，根據伴隨點的定義可知，△DEF的邊上任意一點都是線段AB的伴隨點，求出AB的長即可解決問題．

解答 解：（1）①根據伴隨點的定義卡D、F是線段AB的伴隨點；
故答案為D、F．

②以AB為一邊，在x軸上方、下方分別構造等邊△ABO₁和等邊△ABO₂，
分別以點O₁，點O₂為圓心，線段AB的長為半徑畫圓，

∵線段AB關于y軸對稱，
∴點O₁，點O₂都在y軸上．
∵AB=AO₁=2，AO=1，∴OO₁=$\sqrt{3}$，
∴O₁（0，$\sqrt{3}$），
同理O₂（0，$-\sqrt{3}$）．
∵F（2+$\sqrt{3}$，0），
∴O₁F=2+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2，
∴點F在⊙O₁上．
設直線AF交⊙O₂于點C，
∴線段FC上除點A以外的點都是線段AB的“伴隨點”，
∴點P（m，n）是線段FC上除點A以外的任意一點，
連接O₂C，作CG⊥y軸于點G，
∵等邊△O₁AB和等邊△O₂AB，且y軸垂直AB，
∴∠AO₁B=∠AO₂B=∠O₁AB=∠O₂AB=60°，∠AO₁O=∠AO₂O=30°，
∵O₁A=O₁F，
∴∠AFO₁=∠FAO₁=15°，
∴∠CAO₂=∠AFO₂+∠AO₂F=15°+30°=45°，
∵O₂A=O₂C，
∴∠CAO₂=∠ACO₂=45°，
∴∠O₂CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO₂=30°，
∴CG=O₂C•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴-$\sqrt{3}$≤m≤0，且m≠-1．

（2）如圖△DEF的腰長為1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圓，△OAB是等邊三角形，

∵∠G=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
∴根據伴隨點的定義可知，△DEF的邊上任意一點都是線段AB的伴隨點，
∵EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=OA=OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$時，△DEF的邊上任意一點都是線段AB的伴隨點．

點評 本題考查三角形綜合題、圓周角定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，搞清楚伴隨點的定義，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考創新題目．