Question

6．（1）操作發現  如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決  保持（1）中的條件不變，若DC=3DF，求$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）類比探求  保持（1）中條件不變，若DC=mDF，求$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；
（2）可設DF=x，BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG，即可得到BG的表達式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達式，進而可在Rt△BFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得到$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）仿照（2）的方法得出答案即可．

解答 解：（1）同意，連接EF，
則根據翻折不變性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=3DF，
∴CF=2x，DC=AB=BG=3x，
∴BF=BG+GF=4x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+（2x）²=（4x）²
∴y=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（3）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=m•DF，
∴BF=BG+GF=（m+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（m-1）x]²=[（m+1）x]²
∴y=2x$\sqrt{m}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2x\sqrt{m}}{mx}$=$\frac{2\sqrt{m}}{m}$．

點評 此題考查了折疊變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理的應用，靈活表示每條線段的長度是解決問題的關鍵．