Question

在平面直角坐標系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于點A，AC=2，BD⊥AB于點B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動點P（不與A、B兩點重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點P的關聯(lián)圖形，如圖1所示.
（1）如圖2，當P運動到半圓O與y軸的交點位置時，求點P的關聯(lián)圖形的面積.
（2）如圖3，連接CD、OC、OD,判斷△OCD的形狀，并加以證明.
（3）當點P運動到什么位置時，點P的關聯(lián)圖形的面積最大，簡要說明理由，并求面積的最大值.

Answer 1

（1）12；（2）判斷△OCD是直角三角形，證明見解析；（3）連接OC，交半圓O于點P，這時點P的關聯(lián)圖形的面積最大，理由風解析，.

試題分析：（1）當P運動到半圓O與y軸的交點位置時，點P的關聯(lián)圖形是正方形AOPC+梯形OPDB，據(jù)此求解.
（2）證明OC⊥CD，作出判斷.
（3）連接CD，因為梯形ACDB的面積為定值，故要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，則連接OC交半圓O于點P，應用三角形三邊關系可證明點P為所確定的點的位置，從而由點P的關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積求得點P的關聯(lián)圖形的最大面積.
試題解析：（1）∵A(-2，0)，∴OA="2,"
∵P是半圓O上的動點，P在y軸上，
∴OP="2," ∠AOP=90°.
∵AC=2，∴四邊形AOPC是正方形．∴正方形的面積是4.
又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面積= ,
∴點P的關聯(lián)圖形的面積是12.
（2）判斷△OCD是直角三角形，證明如下：
如圖，延長CP交BD于點F.則四邊形ACFB為矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，四邊形AOPC是正方形，
∴∠OCP=45°.
∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD.
∴△OCD是直角三角形.

（3）連接OC交半圓O于點P，則點P為所確定的點的位置，理由如下：
如圖，連接CD，梯形ACDB的面積=為定值，
要使點P的關聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，
∵CD為定長，∴P到CD的距離就要最小.
連接OC，設交半圓O于點P，
∵AC⊥OA，AC="OA," ∴∠AOC=45°.
過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，∴CF="DF=4," ∠DCF=45°．∴OC⊥CD,OC=2.
∴PC在半圓外.
設在半圓O上的任意一點P′到CD的距離為P′H，
則P′H+P′O>OH>OC.
∵OC="PC+OP," ∴P′H> PC,.
∴當點P運動到半圓O與OC的交點位置時，點P的關聯(lián)圖形的面積最大.
∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面積=.
又∵梯形ACDB的面積=，
∴點P的關聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積-△PCD的面積=.