Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，M、N、P分別在邊AB、BC、AC上移動，但不與A、B、C重合，連接MN、NP、MP，且MP始終與BC保持平行，AD與MP相交于點E，設MP＝x，△MNP的面積用y表示．

（1）求y關于x的函數關系式；

（2）當x取什么值時，y有最大值，并求出的最大值；

（3）當x取什么值時，△MNP是等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣;（0＜x＜10）；（2）x＝5，y最大值是10；（3）或．

【解析】

（1）先證明△AMP∽△ABC求得ED＝8﹣x，再由三角形面積公式即可求得y與x之間的關系；

（2）進行配方求解即可；

（3）分三種情況：∠NMP＝90°，∠MPN＝90°，∠MNP＝90°時，MN＝MP分別求解即可.

（1）∵MP∥BC，AD⊥BC，

∴△AMP∽△ABC，

∴，

∵BC＝10，高AD＝8，MP＝x，

∴，

8x＝10（8﹣ED），

ED＝8﹣x，

∴y＝＝＝﹣（0＜x＜10）；

（2）y＝﹣＝﹣（x﹣5）2+10，

∵﹣＜0，

∴當x＝5時，y有最大值是10；

（3）分三種情況：

①當∠NMP＝90°，MN＝MP時，如圖1，△MNP是等腰直角三角形，

由（1）知：MN＝8﹣x，

∴x＝8﹣x，

x＝；

②當∠MPN＝90°，MP＝PN時，如圖2，△MNP是等腰直角三角形，

同理得：x＝；

③當∠MNP＝90°，MN＝PN時，如圖3，△MNP是等腰直角三角形，

過M作MG⊥BC于G，過P作PH⊥BC于H，

∵MP∥BC，

∴MG＝PH，

∵MN＝NP，

∴Rt△MGN≌Rt△PHN（HL），

∴GN＝NH，

∵MP∥BC，

∴∠MNG＝∠NMP＝45°＝∠HNP＝∠NPM，

∴GM＝GN＝NH＝PH，

由（1）知：MG＝8﹣x，

∵MP＝GN+NH＝2GN，

∴x＝2（8﹣x），

x＝，

綜上，當x取或時，△MNP是等腰直角三角形．