Question

【題目】如圖，的半徑為，點、、、在上，且四邊形是矩形，點是劣弧上一動點，、分別與相交于點、點．當且時，的長度為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

作輔助線，構建矩形的對角線，根據等邊對等角得∠ABP=∠APB，由同弧所對的圓周角相等可得∠ACB=∠ACP，進而得到AF=FC．根據矩形的四個角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的長，AD的長，再三等分即可．

連接AC、BD．

∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB．

∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ACP=∠DAC，∴AF=FC．

∵AE=EF=FD，設FD=x，則FC=AF=2x．

∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，∴AC為⊙O的直徑．

在Rt△DFC中，FC=2FD，∴∠DCF=30°，∴∠ACB=∠ACP=30°．

∵⊙O的半徑為1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=．

∵AE=EF=FD，∴AE=．