Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點，E是AB的中點，作EF⊥BC于F，延長BC至G，使CG=BF，連接CE、DE、DG．

（1）如圖1，求證：四邊形CEDG是平行四邊形；
（2）如圖2，連接EG交AC于點H，若EG⊥AB，請直接寫出圖2中所有長度等于GH的線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE、EB、EC、GD；

【解析】

（1）欲證明四邊形CEDG是平行四邊形，只要證明DE∥CG，DE=CG即可．
（2）由四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，推出DH=CH，GH=HE，設DH=CH=a，則AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2=ADAH=2a3a=6a2，推出AE=a，在Rt△AEH中，HE=

=a，推出AE=HE，因為GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的倍．

（1）證明：如圖1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，
∴EC=EA=EB，
∵EF⊥BC，
∴CF=FB，
∵AD=DC，AE=EB，
∴DE∥BC，DE=BC=BF，
∵CG=BF，
∴DE=CG，DE∥CG，
∴四邊形CEDG是平行四邊形；
（2）解：如圖2中，

∵四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，
∴DH=CH，GH=HE，設DH=CH=a，則AD=CD=2a，
∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AEH，
∴AE2=ADAH=2a3a=6a2，
∴AE=a，
在Rt△AEH中，HE=

=a，
∴AE=HE，
∵GH=HE，AE=EB=CE=GD，
∴線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的倍．