Question

16．如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF與矩形ABCD相似，則AD的長為$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AD=x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AF=AB=EF=1，則FD=x-1，在根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，得到DF：AB=EF：AD，即（x-1）：1=1：x，然后解方程，即可得到AD的長．

解答 解：設(shè)AD=x，
∵四邊形ABEF為正方形，
∴AF=AB=EF=1，
∴FD=x-1，
∵矩形ECDF與矩形ABCD相似，
∴DF：AB=EF：AD，
即（x-1）：1=1：x，
整理得x²-x-1=0，
解得x₁=$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴AD的長為$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題考查了相似多邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解題時注意：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比相等；相似多邊形面積的比等于相似比的平方．