Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線（m>0）與x軸交于A，B兩點，點B在點A的右側，頂點為C，拋物線與y軸交于點D，直線CA交y軸于E，且．

（1）求點A，點B的坐標；

（2）將△BCO繞點C逆時針旋轉一定角度后，點B與點A重合，點O恰好落在y軸上，

①求直線CE的解析式；

②求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1） A（,0） B（,0）；(2) ①，②．

【解析】

（1）根據拋物線的解析式可得對稱軸為x=2，利用得出CA:CE=3:4，由△AOE∽△AGC可得，進而求得OA、OB的長，即可求得點A、點B的坐標；

（2）根據旋轉的性質求出C點坐標，利用C點坐標和△AOE∽△AGC可求得E點坐標，，分別利用待定系數法即可求得直線CE和拋物線的解析式．

解：（1）∵拋物線的解析式為，

∴對稱軸為直線，

如圖，設對稱軸與x軸交于G，則軸，，

∴△AOE∽△AGC，

∴，

∵，

∴CA:CE=3:4 ，則，

∴，

∴，，

則，，

∴A(,0)， B(,0)；

（2）如圖，設O旋轉后落在點Q處，過點C作軸于點P，

由旋轉的性質得：△BCO≌△ACQ，

∴BO=AQ=，CO=CQ，

∴OQ=，

∵軸，

∴，

∴點C的坐標為，則

由（1）得△AOE∽△AGC，，

∴，即點E的坐標為，

①設CE的解析式為，分別代入C，E得：

，解得：，

∴CE的解析式為；

②將A(,0)，C分別代入得：

，解得：，

∴拋物線解析式為 ．