Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．

（1）用直尺和圓規在圖中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（友情提醒：必須作在答題卷上哦！）

（2）若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，直線BC與⊙O相切，理由見解析；（2）

【解析】

（1）因為AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上，據此作圖即可；因為D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說明BC為⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，證△BOD∽△BAC得，即，解之可得．

解：（1）直線BC與⊙O相切．理由如下：

作圖如圖所示，連接OD，

∵AD為角平分線，

∴∠OAD＝∠CAD，

又∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴直線BC與⊙O相切；

（2）設⊙O的半徑為x，

∵AC＝3，BC＝4，

∵AB＝5，

又OD⊥BC，則OD∥BC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，

即，

解得x＝，

∴⊙O的半徑為．