Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在邊CD上有一點E，使EB平分∠AEC．若P為BC邊上一點，且BP=2CP，連接EP并延長交AB的延長線于F．給出以下五個結論：

①點B平分線段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF；⑤△AEB是正三角形．

其中正確結論的序號是．

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

試題分析：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠CEB=∠ABE，又∵BE平分∠AEC，

∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB=2，在Rt△ADE中，AD=，AE=2，由勾股定理可求得DE=1，∴CE=CD﹣DE=2﹣1=1，∵DC∥AB，∴△PCE∽△PBF，∴=，即==，

∴BF=2，∴AB=BF，∴點B平分線段AF，故①正確；∵BC=AD=，∴BP=，

在Rt△BPF中，BF=2，由勾股定理可求得PF===，

∵DE=1，∴PF=DE，故②正確；在Rt△BCE中，EC=1，BC=，由勾股定理可求得BE=2，

∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC，

故③正確；∵AB=2，AD=，∴S矩形ABCD=AB×AD=2×=2，

∵BF=2，BP=，∴S△BPF=BF×BP=×2×=，

∴4S△BPF=，∴S矩形ABCD=≠4S△BPF，故④不正確；

由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB為正三角形，故⑤正確；

綜上可知正確的結論為：①②③⑤．

故答案為：①②③⑤．