Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AC=AB，延長AC到點P，使CP=AC，BD交AC于E．
（1）求證：BP=2BE；
（2）求證：∠DEC=∠PBA．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）由平行四邊形ABCD中，AC=AB，CP=AC，易證得△BCD≌△BCP（SAS），然后由全等三角形的對應邊相等，證得BP=BD=2BE；
（2）由全等三角形的對應角相等，可得∠P=∠BDC，繼而證得∠P=∠ABD，則可證得結論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵AC=AB，CP=AC，
∴CP=CD，∠ACB=∠ABC，
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠BCP=∠ABC+∠BAC，
∴∠BCD=∠BCP，
在△BCD和△BCP中，

BC=BC ∠BCD=∠BCP CD=CP

，
∴△BCD≌△BCP（SAS），
∴BP=BD=2BE；

（2）∵△BCD≌△BCP，
∴∠P=∠BDC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∴∠P=∠ABD，
∴∠DEC=∠P+∠EBP=∠ABD+∠EBP=∠PBA．

點評：此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．