Question

11．如圖，已知△ABC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點E為$\widehat{AD}$的中點，連結CE交AB于點F，且BF=BC．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，sinB=$\frac{4}{5}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根據切線的判定推出即可．
（2）根據AC=4，sinB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，求出AB=5，BC=3，BF=3，AF=2，根據∠EAD=∠ACE，∠E=∠E證△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，設EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x²+4x²=16，求出即可．

解答 （1）BC與⊙O相切
證明：連接AE，
∵AC是⊙O的直徑
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC，
∵E為弧AD中點，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC為直徑，
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵⊙O的半為2
∴AC=4，
∵sinB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵BF=BC，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴$\frac{EA}{EC}$=$\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2EA，
設EA=x，EC=2x，
由勾股定理得：x²+4x²=16，
x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$（負數舍去），
即CE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．