Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，AE=3，求BD的長．

Answer 1

分析 由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據鄰補角的定義得到∠ADE=90°，根據切線的性質得到∠EAB=90°，推出△EAD∽△EBA，根據相似三角形的性質得到$\frac{AE}{DE}=\frac{EB}{AE}$，得到AE²=ED•EB，根據三角函數的定義得到AB=6，由勾股定理得到BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，即可得到結論．

解答 解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°，
∵AE為⊙O的切線，
∴∠EAB=90°，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EB}{AE}$，
∴AE²=ED•EB，
在Rt△AEB中，AE=3，tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，∴AB=6，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴3²=ED•3$\sqrt{5}$，
∴ED=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=BE-ED=3$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．