Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD于點D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若點E為 的中點，AD= ，AC=8，求AB和CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵直線CD與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OAC=∠DAC，

即AC平分∠DAB

（2）連接BC，OE，過點A作AF⊥EC于點F，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ ，

即 ，

解得：AB=10，

∴BC= =6，

∵點E為 的中點，

∴∠AOE=90°，

∴OE=OA= AB=5，

∴AE= =5 ，

∵∠AEF=∠B（同弧所對圓周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，

∴△ACB∽△AFE，

∴ ，

∴ ，

∴AF=4 ，EF=3 ，

∵∠ACF= ∠AOE=45°，

∴△ACF是等腰直角三角形，

∴CF=AF=4 ，

∴CE=CF+EF=7 ．

【解析】（1）首先連接OC，由直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD，易證得OC∥AD，繼而可得AC平分∠DAB；（2）首先連接BC，OE，過點A作AF⊥CE于點F，可證得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的對應邊成比例以及勾股定理，即可求得答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．