Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的對稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，已知點B的坐標為(8，0)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M為線段BC上方拋物線上的一點，點N為線段BC上的一點，若MN∥y軸，求MN的最大值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q使得△ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，，或

【解析】

（1）利用對稱軸公式求得a的值，然后利用待定系數法確定函數關系式；

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，利用待定系數法求出解析式，再表示出MN，然后根據二次函數的最值問題解答；

（3）利用勾股定理列式求出AC，過點C作CD⊥對稱軸于D，然后分①AC＝CQ時，利用勾股定理列式求出DQ，分點Q在點D的上方和下方兩種情況求出點Q到x軸的距離，再寫出點的坐標即可；②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ＝CQ，再寫出點Q的坐標即可．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）的對稱軸為直線x＝3，

∴=3，

∴b＝﹣6a，

∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）．

∵拋物線與x軸交于點B（8，0），

∴64a﹣48a+4＝0，

解得，∴，

∴拋物線的解析式為；

（2）當x＝0時，y＝4，

∴C（0，4）．

設直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將B（8，0），C（0，4）代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為．

∵點M為線段BC上方拋物線上的一點，點N為線段BC上的一點，若MN∥y軸，

∴設，，其中0＜x＜8，

∴MN=

=

=

=

∴當x＝4時，MN的值最大，最大值為4；

（3）存在．理由如下：

由勾股定理得，AC＝＝，

過點C作CD⊥對稱軸于D，則CD＝3，

①AC＝CQ時，DQ＝＝，

點Q在點D的上方時，點Q到x軸的距離為4+，

此時點Q1（3，4+），

點Q在點D的下方時，點Q到x軸的距離為4﹣，

此時點Q2（3，4﹣），

②點Q為對稱軸與x軸的交點時，AQ＝5，

CQ＝＝5，

∴AQ＝CQ，

此時，點Q3（3，0），

③當AC＝AQ時，∵AC＝2，點A到對稱軸的距離為5，2＜5，

∴這種情形不存在．

綜上所述，符合條件的點Q的坐標是，或．