Question

【題目】如圖，已知直線y＝2x+4分別交x軸，y軸于點A，B，拋物線過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣2x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．

①直接寫出點M，N的坐標．

②若四邊形MNPD為平行四邊形，請求出點P的坐標．

（2）當點P的橫坐標為﹣1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①M， N；②P；（2）存在，y＝﹣2x2﹣2x+4或y＝﹣x2﹣3x+4．

【解析】

（1）①拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣，進而，即可求解；②PD＝﹣2m2﹣2m+4﹣（2m+4）＝﹣2m2﹣4m，當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即可求解；

（2）分 、兩種情況，分別求解即可．

（1）①拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣，則點M的坐標為（﹣，），

當x＝﹣時，y＝2x+4＝3，

∴點N（﹣，3）；

②∵M（﹣，），N（﹣，3），

∴MN＝﹣3＝．

設P點坐標為（m，2m+4），則D（m，﹣2m2﹣2m+4），

∴PD＝﹣2m2﹣2m+4﹣（2m+4）＝﹣2m2﹣4m，

∵PD∥MN，

∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即﹣2m2﹣4m＝，

解得：m1＝﹣（舍去），m2＝﹣．

∴P點坐標為（﹣，1）；

（2）存在．如圖，OB＝4，OA＝2，則AB＝．

∵當x＝﹣1時，y＝2x+4＝2，

∴P（﹣1，2），

∴PB＝．

設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+4，

把A（﹣2，0）代入得：4a﹣2b+4＝0，解得：b＝2a+2．

∴拋物線的解析式為：y＝ax2+2（a+1）x+4，

∴當x＝﹣1時，y＝ax2+2（a+1）x+4＝a﹣2a﹣2+4＝2﹣a，

即：D（-1，2﹣a）．

∴PD＝2﹣a﹣2＝﹣a，

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA．

①當時，△PDB∽△BOA，即 ，解得a＝﹣2．

此時拋物線解析式為：y＝﹣2x2﹣2x+4；

②當時，△PDB∽△BAO，即，解得a＝﹣．

此時拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣3x+4；

綜上所述，所求拋物線的解析式為：y＝﹣2x2﹣2x+4或y＝﹣x2﹣3x+4．