Question

【題目】定義：若兩個函數y1和y2的自變量x的取值范圍相同，我們不妨把y1和y2的比值y稱為x的比函數，且比函數的自變量x的取值范圍不發生改變．例如：y1＝x2+2x（x＞0），y2＝x（x＞0），則x的比函數為y＝＝x+2（x＞0）．

（1）已知y1＝x2﹣4（2≤x≤3），y2＝x+2（2≤x≤3），寫出x的比函數y的解析式，并求出y的取值范圍；

（2）已知y1＝x+2（x＞1），y2＝x﹣2（x＞1），求x的比函數y的圖象上的整數點（橫坐標和縱坐標都為整數的點）的坐標；

（3）已知y1＝x2﹣x+1，y2＝x2+x+1，若x的比函數y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數）存在交點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2，0≤y≤1；（2）整數點的坐標為（3，5），（4，3），（6，2）；（3）當k≤4時，x的比函數y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數）存在交點．

【解析】

（1）根據比函數的定義即可得出答案；

（2）先根據比函數的定義寫出x的比函數，再將比函數化簡成一個整數加上一個分式的形式，即可得出答案；

（3）先根據比函數的定義寫出x的比函數，再求出比函數y的取值范圍，根據“x的比函數y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數）存在交點”得出x2+2x+k的取值范圍，即可得出答案.

解：（1）x的比函數為y＝，

∵2≤x≤3，

∴0≤y≤1；

（2）x的比函數為y＝，

∵x＞1，

∴x＝3時，y＝5；x＝4時，y＝3；x＝6時，y＝2，

∴x的比函數圖象上的整數點的坐標為（3，5），（4，3），（6，2）；

（3）x的比函數為y＝，

當x＞0時，x+≥2，

∴≤y＜1，

當x＜0時，x+≤﹣2，

∴1＜y≤3，

∴≤y≤3且y≠1，

∵x的比函數y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數）存在交點，

∴x2+2x+k≤3，

∵當x＝﹣1時，拋物線的最小值為k﹣1，

∴k﹣1≤3，即k≤4，

∴當k≤4時，x的比函數y的圖象與拋物線y3＝x2+2x+k（k為常數）存在交點．