Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，F是AC中點，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線，延長DF交AN于點E．

（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）問：線段CE與線段AD有什么關系？請說明你的理由；

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形?請說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CE∥AD，CE=AD；（3）答案不唯一，如∠BAC=90°．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質和中位線的性質可證明：AB∥DE，再利用等腰三角形的性質和角平分線的定義證明AE∥BD，進而證明四邊形ABDE的形狀為平行四邊形；

（2）CE∥AD，CE=AD；證明四邊形ADCE為平行四邊形即可；

（3）能使得矩形的鄰邊AD和DC相等的條件均可．

（1）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：

∵AB=AC，D是BC中點，F是AC中點，

∴DF∥AB．

∵AB=AC，D是BC中點，

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC．

∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線，

∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，

∴AE∥BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）CE∥AD，CE=AD．理由如下：

由（1）得：AE∥DC，AE=BD．

∵AB=AC，點D為BC中點，

∴BD=DC，

∴AE=DC．

∵AE∥DC，

∴四邊形ADCE為平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∴CE∥AD，CE=AD．

（3）答案不唯一，如當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是正方形．理由如下：

由（1）得：AD⊥BC，

∴∠ADC=90°．

∵四邊形ADCE為平行四邊形，

∴四邊形ADCE為矩形．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形．

∵D為BC的中點，

∴AD=BD=DC，

∴矩形ADCE為正方形．