Question

（本小題滿分10分）已知：如圖，⊙與軸交于C、D兩點，圓心的坐標
為（1，0），⊙的半徑為，過點C作⊙的切線交軸于點B（－4，0）
 
小題1:（1）求切線BC的解析式；
小題2:（2）若點P是第一象限內⊙上一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，
且∠CGP＝120°，求點的坐標；
小題3:（3）向左移動⊙（圓心始終保持在軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出點 的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）連接AC，由勾股定理可求出OC的長，進而得出C點坐標，同理，由切線的性質及勾股定理即可得出OB的長，進而求出B點坐標，再用待定系數法即可求出過BC兩點的直線解析式；
（2）過G點作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用銳角三角函數的定義可求出CG的長，
由勾股定理可得出BC的長，由OC∥GH可得出
= ，進而可求出G點坐標；
（3）假設△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質可得出A點坐標；當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，過A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質可得出A′點的坐標．
小題1:（1）連接，∵是⊙A的切線，∴．
∴．
∵，∴，∴．
∴△∽△，∴．
即，∴．∴點坐標是（0，2）．
設直線的解析式為，∵該直線經過點B（－4，0）與點（0，2），
∴    解得   
∴該直線解析式為．

小題2:（2）連接，過點作．
由切線長定理知
．
在中，∵，
∴．
在中，由勾股定理得 
．
∴．
又∵．
∴∽，∴，
∴．
則是點的縱坐標，
∴，解得．
∴點的坐標．……………4分
小題3:(3)如圖示，當在點的右側時
∵、在⊙上，∴．
若△是直角三角形，則，且為等腰直角三角形．
過點作，在中由三角函數可知
．
又∵∽，
∴ ，
∴．
∴，
∴點 坐標是．
當在點的左側時：同理可求點 坐標是．……………6分