Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D為AC邊上一點，且AD=3cm，動點E從點A出發沿線段AB向終點B運動．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點F．

1）找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；

（2）當△BEF為等腰三角形時，求AE的長；

（3）求動點E從點A出發沿線段AB向終點B運動的過程中點F的運動路線長．

Answer 1

【答案】（1）△ADE∽△BEF；理由見解析；（2）或3或3．（3）cm.

【解析】

試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性質和已知條件證出∠ADE=∠BEF，即可得出結論；

（2）分三種情況：①若EF=BF，由相似三角形的性質和勾股定理求出AE=DE=即可；

②若EF=BE，由相似三角形的性質和勾股定理求出AE即可；

③若BF=BE，則∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．

（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出y是x的二次函數，即可得出結果．

試題解析：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，

∴∠A=∠B=45°，

∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，

∴∠ADE=∠BEF，

∴△ADE∽△BEF；

（2）分三種情況

①如圖1，

若EF=BF，則∠B=∠BEF，

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠A=∠ADE=45°，

∴∠AED=90°，

∴AE=DE=；

②如圖2，

若EF=BE，則∠B=∠EFB

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠A=∠AED=45°，

∴∠ADE=90°，

∴AE=3；

③如圖3，

若BF=BE，則∠FEB=∠EFB

又∵△ADE∽△BEF，

∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD=3．

綜上所述，當△BEF為等腰三角形時，AE的長為或3或3．

（3）設AE=xcm，BF長為ycm．

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．

∴∠A=∠B=45°，AB=4，

由（1）得：△ADE∽△BEF，

∴，

∴，

∴y=-x2+x，

∴y=-x2+x =-（x-2）2+，

∴當x=2時，y有最大值=，

∵從運動的過程中可以得出點E運動的路程正好是2BF，

∴點E運動路程為2×=（cm）．