Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D為AC的中點．
（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明；
（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

（1）FH與FC的數量關系是：FH=FC．
證明如下：延長DF交AB于點G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵點D為AC的中點，
∴點G為AB的中點，且DC=

1

2

AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴DG=

1

2

BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．

（2）FH與FC仍然相等．
理由：由題意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵點D為AC的中點，DF∥BC，
∴DG=

1

2

BC，DC=

1

2

AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中

∠CEF=∠FGH EC=GF ∠ECF=∠GFH

，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC．