Question

【題目】如圖，點O是等邊三角形ABC內的一點，∠AOB=130°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得到△ADC，連接OD．

（1）判斷△COD的形狀，并加以說明理由．

（2）若AD=1，OC=，OA=時，求α的度數．

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△COD是等邊三角形，理由見解析；（2）α=150°；（3）α為100°、130°、115°時，△AOD為等腰三角形．

【解析】

（1）根據旋轉得出CO=CD，∠DCO=60°，根據等邊三角形的判定推出即可．
（2）根據三條邊的關系得到△AOD為直角三角形，得到∠ADO=90°，從而求出α的值．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分為三種情況：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

（1）∵△ADC≌△BOC，

∴CO=CD，

∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，

∴∠DCO=60°，

∴△COD是等邊三角形．

（2）∵AD=1，OC=，OA=

∴OA2=AD2+OC2

∴△AOD是直角三角形

∴∠ADO=90°

∴α=90°+60°=150°

（3）∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD=360°﹣130°﹣∠α﹣60°=170°﹣∠α，

∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=∠α﹣60°，

∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠ADO=180°﹣（∠α﹣60°）﹣（170°﹣∠α）=70°，

若∠ADO=∠AOD，即∠α﹣60°=170°﹣∠α，

解得：∠α=115°；

若∠ADO=∠OAD，則∠α﹣60°=70°，

解得：∠α=130°；

若∠OAD=∠AOD，即70°=170°﹣∠α，

解得：∠α=100°；

即當α為100°、130°、115°時，△AOD為等腰三角形．