Question

高科技發展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品，并投入資金1500萬元作為固定投資，已知生產每件產品的成本是40元．在銷售過程中發現：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產成本—投資）為z（萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函數關系式（不寫x的取值范圍）；
（2）試寫出z與x之間的函數關系式（不寫x的取值范圍）；
（3）公司計劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價進行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數的大致圖象說明：第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍內？

Answer 1

（1）y=-x+30；（2）z=-x²+34x-3200；（3）第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內.

試題分析：（1）依題意當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數關系式．
（2）由題意易得Z與x之間的函數關系．
（3）根據z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130進而得出當120≤x≤220時，z≥1130畫出圖象得出即可．
試題解析：（1）依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少 (x-100)萬件.
∴y=20-(x-100)=-x+30.
即y與x之間的函數關系式是:y=-x+30.
（2）由題意，得：z=(30-)(x-40)-500-1500=-x²+34x-3200.
即z與x之間的函數關系式是:z=-x²+34x-3200.
(3)∵z=-x²+34x-3200=-(x-170)²-310.
∴當x=170時，z取最大值，最大值為-310.
也就是說：當銷售單價定為170元時，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310萬元就可以收回全部投資.
第二年的銷售單價定為x元時，則年獲利為：
z=(30-x)(x-40)-310
=-x²+34x-1510.
當z=1130時，即1130=-+34-1510.
整理，得x²-340x+26400=0.
解得x₁=120,x₂=220.
函數z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示：

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130.
所以第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內.
考點:二次函數的應用.