Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分別交AC、BC于點P和Q，設運動時間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）連結EF、DQ，若四邊形EQDF為平行四邊形，求t的值；
（2）連結EP，設△EPC的面積為ycm2 ， 求y與t的函數關系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ與△ADC相似，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，

∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，

∴由勾股定理得：AC=10，

∵FQ⊥BC，

∴∠FQC=90°，

∴四邊形CDFQ是矩形，

∴DF=QC，DC=FQ=6cm，

∵點E由點B出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點F由點D出發沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，

∴t秒后，BE=2t，DF=QC=t，

∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t，

∵四邊形EQDF為平行四邊形，

∴FD=EQ，

即：8﹣3t=t，

解得：t=2；

（2）

解：∵∠FQC=90°，∠B=90°，

∴∠FQC=∠B，

∴PQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴ ，

即 ，

∴PQ= ，

∵S△EPC= ECPQ，

∴y= （8﹣2t） =﹣ 2+3t=﹣ （t﹣2）2+3，

即y=﹣ （t﹣2）2+3，

∵a=﹣ ＜0，

∴y有最大值，當x=2時，y的最大值為3；

（3）

解：分兩種情況討論：

若E在FQ左邊，

①當△EPQ∽△ACD時，

可得： ，

即： ，

解得：t=2；

②當△EPQ∽△CAD時，

可得： ，

即 ，

解得：t= ．

若E在FQ右邊，

③當△EPQ∽△ACD時，

可得： ，

即： ，

解得：t=4（舍去）；

④當△EPQ∽△CAD時，

可得： ，

即 ，

解得：t= ．

故若△EPQ與△ADC相似，則t的值為：2或 或 ．

【解析】（1）由四邊形EQDF為平行四邊形，可得：DF=EQ，然后分別用含有t的式子表示DF與EQ即可求t的值；（2）先證明△CPQ∽△CAB，然后根據相似三角形的對應邊成比例，用含有t的式子表示PQ，然后根據三角形的面積公式即可y與t的函數關系式，然后根據二次函數的最值公式計算即可；（3）首先分別從點E在FQ左邊與右邊，再由△EPQ∽△ACD；△EPQ∽△CAD．然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求出相應的t的值．