Question

【題目】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)AP平分∠BAC時(shí)，試說(shuō)明AM=AN.

（2）若∠PAC=m，求∠AMQ的大小（用含m的式子表示）．

（3）用等式表示線(xiàn)段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析∠AMQ=45°+m.

【解析】

易證明≌,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

（2）QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，可得∠CAP=∠Q=m.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=45°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）連接AQ，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BQ于N.證明△ACP≌△QNM，得到MN=CP=CQ.MN⊥BQ，∠B=45°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到即可得到表示線(xiàn)段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系

AP平分∠BAC,

在和中，

≌,

（2）∵QH⊥AP，AC⊥BC，∠APC=∠QPH，

∴∠CAP=∠Q=m.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴∠AMQ=∠Q+∠B=45°+m.

（3）.理由如下：

連接AQ，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BQ于N.

∵AC⊥BC，QC=CP，

∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠CAP=m，

∴∠QAM=∠CAB+∠QAC=45°+m=∠AMQ，

∴AQ=QM，

∴AP=QM.

∵AP=QM，∠CAP=∠MQN，∠ACP=∠QNM，

∴△ACP≌△QNM，

∴MN=CP=CQ.

∵MN⊥BQ，∠B=45°，

∴

∴